力学で使う数学の公式まとめです。
これくらい覚えておけばOK。証明もしておきますね。
目次
力学で使う三角関数と微分・積分の基本
三角関数と微分と積分について簡単にまとめていきます。
三角関数の基本と公式
三角関数の基本は以下の通り
| \( ^{\circ} \) | \( 30^{\circ} \) | \( 45^{\circ} \) | \( 60^{\circ} \) | \( 90^{\circ} \) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \( \sin \theta \) | \( 0 \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( 1 \) |
| \( \cos \theta \) | \( 1 \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( 0 \) |
| \( \tan \theta \) | \( 0 \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) | \( \infty \) |
\( \sin \cos \tan \)の関係
基本的な公式は以下の通り
導出は三平方の定理を使いましょう。
三角関数の加法定理
さっきの \( \tan \theta = \dfrac{ \sin \theta }{ \cos \theta} \) \)を使えば、\(\tan(\alpha \pm \beta) \)も導出できます。
\( \tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)} \)
分子分母を\cos(\alhfa)\cos(\beta)で割ると、（\( \tan \theta = \dfrac{ \sin \theta }{ \cos \theta} \)） より、
\( \tan( \alpha \pm \beta) = \dfrac{ \tan(\alpha)\pm \tan(\beta) }{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta) } \)
三角関数の倍角公式
倍角公式は、2倍角と3倍角くらい覚えておけばOKです。
3倍角はこちら
\( sin \)の倍角公式の導出
加法定理から導出できます。
\( sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) \)
\( \sin(\alpha)\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\sin(\alpha) \)
\( 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \)
\( cos \)の倍角公式の導出
\( cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) \)
\( \cos(\alpha)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\alpha) \)
\( \cos^{2}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha) \)
ここで、\( \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta =1 \)を使えば、
\( \cos^{2}(\alpha) - (1 - \sin^{2}(\alpha) \)
\( 2\cos^{2}(\alpha) - 1 \)、または、\( 1- 2\sin^{2}(\alpha) \)
\(\sin\)の3倍角の公式
加法定理さえ覚えておけば導出できます。
\( \sin(3\alpha) = \sin(\alpha + 2\alpha) \)
\( \sin(\alpha)\cos(2\alpha) + \cos(\alpha)\sin(2\alpha) \)
ここで、2倍角の公式を使うと
\( \sin(\alpha)(1-2sin^{2}(\alpha))+2\sin(\alpha)(1-2\sin^{2}(\alpha)) \)
\( \sin(\alpha)-4\sin^{3}(\alpha) \)
\(\cos\)の3倍角の公式
\( \cos(3\alpha) = \cos(\alpha + 2\alpha) \)
\( \cos(\alpha)\cos(2\alpha) - \sin(\alpha)\sin(2\alpha) \)
\( \cos(\alpha)(2\cos^{2}(\alpha) - 1) - \sin(\alpha)2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \)
\( \cos(\alpha)(2\cos^{2}(\alpha)-1) - 2(1-cos^{2}(\alpha))cos(\alpha) \)
\( 4cos^{3}(\alpha) - 3cos(\alpha) \)
三角関数の積和
さっきの加法定理を使います。
\( \sin(\alpha)\cos(\beta) \)の導出
\( sin(\alpha + \beta \)と\( sin(\alpha - \beta) \)を足し算します。
\( sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \)・・・（a）
\( sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) \)・・・（b）
（a）＋（b）をして、
\( sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta) = 2\sin(\alpha)\cos(\beta) \)
\( sin(\alpha)cos(\beta) = \dfrac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)} \)
\( \cos(\alpha)\cos(\beta) \)の導出
\( cos(\alpha + \beta) \)と\( cos(\alpha - \beta) \)を足し算します。
\( \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \)・・・（c）
\( \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \)・・・（d）
（c）+（d）をして、
\( cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) = 2cos(\alpha)\cos(\beta)\)
\( \cos(\alpha)\cos(\beta) = \dfrac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)} \)
\( \sin(\alpha)\sin(\beta) \)の導出
\( \cos(\alpha + \beta) \)と\( \cos(\alpha - \beta) \)を引き算します。
（c）-（d）をして、
\( \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin(\alpha)sin(\beta)\)
\( \sin(\alpha)\sin(\beta) = \dfrac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)} \)
力学で使う微分・積分の基本と公式
基本的な微分の公式は\( x^{\alpha} = \alpha(x^{\alpha -1}) \)です。
三角関数や指数・対数の微分公式はこちら
積分はこの逆ですね。
まとめ：力学で使う三角関数と微分積分の基本公式まとめ
ここまでの公式をざっとまとめます。
三角関数の基本と公式のまとめ
| \( ^{\circ} \) | \( 30^{\circ} \) | \( 45^{\circ} \) | \( 60^{\circ} \) | \( 90^{\circ} \) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \( \sin \theta \) | \( 0 \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( 1 \) |
| \( \cos \theta \) | \( 1 \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( 0 \) |
| \( \tan \theta \) | \( 0 \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) | \( \infty \) |
三角関数の加法定理まとめ
三角関数の倍角公式
三角関数の3倍角公式
三角関数の積和
微分積分の基本と公式まとめ
微分の公式をまとめます。積分はその逆。